# Ross-Littlewood paradoks: Zagonetka vjerojatnosti i izbora

- Link: https://zadar.tv/ross-littlewood-paradoks/
- Published: 2026-08-27T23:30:00+02:00
- Author: Maksimilijan Lauc

## Uvod

Zamislite da imate urnu i beskonačan broj numeriranih kuglica. Sada zamislite da
izvodite niz radnji – dodajete kuglice, pa uklanjate neke – i to radite beskonačno
mnogo puta, ali sve to stane u konačan vremenski interval. Koliko će kuglica biti
u urni na kraju tog procesa? Zvuči kao zagonetka iz Alice u Zemlji čudesa, zar ne?
Upravo nas takva pitanja dovode do fascinantnog misaonog eksperimenta poznatog kao
[Ross-Littlewoodov paradoks](https://zadar.tv/zenonov-paradoks-ahil-kornjaca/), 
ili ponekad samo Ross-ov paradoks.

Ovaj paradoks, iako naizgled jednostavan, duboko zadire u naše razumijevanje [beskonačnost](https://zadar.tv/zadar-1954-danas-putuje-u-porec-sutra-pocinje-zavrsnica-drzavnog-prvenstva-u17/)
i, granica i prirode matematičkih operacija. On nas tjera da preispitamo intuiciju
i logiku kada se suočavamo s “superzadacima” – beskonačnim nizovima radnji izvedenih
u konačnom vremenu. Pripremite se za mentalnu vježbu koja će vas natjerati da razmislite
o samim temeljima stvarnosti i matematike.

## Što je paradoks/eksperiment?

![Ilustracija paradoksa Ross-Littlewood paradoks](https://zadar.tv/wp-content/uploads/
2026/08/ross-littlewood-paradoks-illustration1-1785741088.webp)

Ilustracija paradoksa Ross-Littlewood paradoks

[Ross-Littlewoodov paradoks](https://zadar.tv/infinite-jest-david-foster-wallace-analiza-2/)
je misaoni eksperiment koji istražuje posljedice izvođenja [beskonačnog niza operacija](https://zadar.tv/paradoks-uspavane-ljepotice-zagonetka-vjerojatnosti/)(
dodavanje i uklanjanje objekata) u konačnom vremenu. Srž paradoksa leži u kontradiktornim
zaključcima do kojih dolazimo o konačnom broju objekata u posudi nakon što je beskonačan
proces završen.

Osnovna ideja je sljedeća: Imamo praznu urnu i beskonačan niz kuglica numeriranih
1, 2, 3… Proces se odvija u nizu koraka, koji se sve brže i brže događaju kako se
približavamo određenom vremenskom trenutku (npr. podne). U svakom koraku dodaje 
se deset novih kuglica u urnu, a zatim se jedna kuglica uklanja. Pitanje je: koliko
kuglica ostaje u urni točno u podne?

## Povijest nastanka

Paradoks Ross-Littlewooda nastao je u sredini 20. stoljeća, u kontekstu širih filozofskih
i matematičkih rasprava o prirodi beskonačnosti i mogućnosti “superzadataka” (supertasks)–
[beskonačnih nizova radnji izvedenih u konačnom vremenu](https://zadar.tv/thomsonova-svjetiljka-paradoks-beskonacnosti-vremena/).
Takvi su se problemi često pojavljivali u raspravama o [Zenonovim paradoksima kretanja](https://zadar.tv/zenonov-paradoks-dihotomije-kretanje-beskonacnost/),
koji su stoljećima mučili filozofe i matematičare.

Iako se često spominje kao “[Ross-Littlewoodov paradoks](https://zadar.tv/paradoks-uspavane-ljepotice-zagonetka-vjerojatnosti/)“,
slične ideje i koncepti su se istraživali i ranije. Jedan od poznatih prethodnika
je “[Thomsonova lampa](https://zadar.tv/thomsonova-svjetiljka-paradoks-beskonacnosti-vremena/)”(
Thomson’s Lamp) iz 1954. godine, koju je osmislio James F. Thomson. [Thomsonov paradoks](https://zadar.tv/thomsonova-svjetiljka-paradoks-beskonacnosti-vremena/)
također se bavio pitanjem konačnog stanja sustava nakon beskonačnog niza operacija,
ali s jednostavnijim scenarijem paljenja i gašenja svjetiljke. Ross-Littlewoodov
paradoks je razrada i složenija verzija ovih ideja, koja dodaje komponentu promjene
broja objekata.

## Tko ga je osmislio?

Kao što je navedeno u uputama, autor i utemeljitelj ovog specifičnog paradoksa je**
John Ross**. Iako se u nekim izvorima spominje i John E. Littlewood zbog sličnih
rasprava o beskonačnim procesima, klasična formulacija s urnom i kuglicama često
se pripisuje Rossu. John Ross je bio matematičar i filozof koji je istraživao temelje
matematike i filozofske implikacije beskonačnosti.

Njegov rad, kao i radovi drugih filozofa i matematičara tog doba, bio je ključan
za razjašnjavanje problema vezanih uz beskonačne serije, granice i konceptualne 
poteškoće koje proizlaze iz primjene matematičkih modela na filozofske probleme.
Ross-Littlewoodov paradoks postao je standardni primjer u filozofiji matematike 
i logike za ilustraciju problema s “superzadacima”.

## Objašnjenje korak po korak

![Logički prikaz paradoksa Ross-Littlewood paradoks](https://zadar.tv/wp-content/
uploads/2026/08/ross-littlewood-paradoks-diagram-1785741105.webp)

Logički prikaz paradoksa Ross-Littlewood paradoks

Pratimo proces detaljno:

### Postavka

Imamo praznu urnu i beskonačan niz numeriranih kuglica: 1, 2, 3, 4, …

Proces se odvija u intervalu od 1 minute, recimo od 11:59 do 12:00 (podne). Vrijeme
se dijeli na sve kraće intervale:

 Prvi interval: od 11:59:00 do 11:59:30 (30 sekundi)
 Drugi interval: od 11:59:30
do 11:59:45 (15 sekundi) Treći interval: od 11:59:45 do 11:59:52.5 (7.5 sekundi)…
i tako dalje, ad infinitum.

Svaki sljedeći interval je upola kraći od prethodnog, tako da se beskonačan broj
koraka odvije točno do podne.

### Proces

U svakom koraku izvode se dvije operacije:

 **Dodavanje:** U urnu se dodaje deset novih kuglica.
 **Uklanjanje:** Iz urne se
uklanja jedna kuglica.

Evo kako to izgleda konkretno:

 **1. korak (u 11:59:30):**

 * Dodaju se kuglice 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
 * Uklanja se kuglica 1.

 *Broj kuglica u urni: 9*

 **2. korak (u 11:59:45):**

 * Dodaju se kuglice 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
 * Uklanja se kuglica
2.

 *Broj kuglica u urni: 9 + 10 – 1 = 18*

 **3. korak (u 11:59:52.5):**

 * Dodaju se kuglice 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.
 * Uklanja se kuglica
3.

 *Broj kuglica u urni: 18 + 10 – 1 = 27*

Ovaj se proces nastavlja beskonačno, s time da se u n-tom koraku dodaju kuglice 
od (10n-9) do (10n) i uklanja se kuglica n.

### Pitanje

Koliko će kuglica biti u urni točno u 12:00 (podne)?

### Paradoks

Dolazimo do dva naizgled logična, ali kontradiktorna zaključka:

 **Zaključak 1: U urni je beskonačno mnogo kuglica.**

 * U svakom koraku dodamo 10 kuglica i uklonimo 1, što znači da se neto broj kuglica
u urni povećava za 9.
 * Budući da se izvodi beskonačan broj koraka, a u svakom 
koraku se broj kuglica povećava za 9, prirodno je zaključiti da će u urni biti beskonačno
mnogo kuglica.

 **Zaključak 2: U urni je nula kuglica.**

 * Razmotrimo bilo koju kuglicu, recimo kuglicu broj ‘k’.
 * Kuglica ‘k’ se dodaje
u urnu u nekom koraku (najkasnije u k-tom koraku, budući da se dodaju kuglice 10k-
9 do 10k). * Kuglica ‘k’ se uklanja iz urne u k-tom koraku (jer se u k-tom koraku
uklanja kuglica ‘k’). * Budući da se svaka pojedinačna kuglica koja je ikada dodana
u urnu, u nekom trenutku i ukloni, to znači da točno u podne, nijedna kuglica koja
je ikada bila u urni ne može biti tamo. Dakle, u urni mora biti 0 kuglica.

Ova dva zaključka su u izravnoj kontradikciji, stvarajući paradoks.

## Zašto je važan?

Ross-Littlewoodov paradoks je izuzetno važan jer nas tjera da se suočimo s temeljnim
pitanjima o prirodi beskonačnosti, matematičkim granicama i koherentnosti “superzadataka”–
procesa koji uključuju beskonačan broj radnji u konačnom vremenu. Njegov značaj 
se proteže na nekoliko područja:

### Filozofija matematike

Paradoks ističe poteškoće u primjeni intuicije i konačne logike na beskonačne procese.
Dovodi u pitanje naše razumijevanje “zbroja” ili “stanja” sustava nakon beskonačnog
niza operacija, gdje redoslijed i pravila uklanjanja mogu drastično promijeniti 
ishod. Potiče rasprave o tome jesu li superzadaci uopće logički mogući ili samo 
apstraktne konstrukcije.

### Filozofija fizike

Ako su superzadaci mogući u matematičkom smislu, jesu li mogući i u fizičkom svijetu?
Ross-Littlewoodov paradoks potiče razmišljanje o prirodi vremena, prostora i fizikalnih
ograničenja. Je li beskonačan broj radnji u konačnom vremenu fizički ostvariv ili
samo misaona konstrukcija? Ovo pitanje ima implikacije na teorije singularnosti 
i granica svemira.

### Logika i teorija skupova

Paradoks ilustrira probleme s definiranjem “konačnog stanja” beskonačnog procesa.
Naglašava razliku između beskonačnih skupova i njihovih podskupova, te kako operacije
na njima mogu dovesti do neočekivanih rezultata. Pomaže u razumijevanju kada su 
matematičke operacije dobro definirane, a kada vode u nejasnoće.

### Epistemologija

Paradoks nas uči oprezu pri ekstrapoliranju konačnih pravila na beskonačne scenarije.
Pokazuje kako naša intuicija, koja je oblikovana iskustvom s konačnim brojevima 
i procesima, može biti zavaravajuća kada se suočimo s beskonačnošću.

## Najčešće interpretacije

![Različite interpretacije paradoksa Ross-Littlewood paradoks](https://zadar.tv/
wp-content/uploads/2026/08/ross-littlewood-paradoks-interpretations-1785741134.webp)

Različite interpretacije paradoksa Ross-Littlewood paradoks

Paradoks Ross-Littlewooda izazvao je razne interpretacije, od kojih svaka pokušava
riješiti kontradikciju ili objasniti zašto nastaje:

### Interpretacija “Nula kuglica” (The Zero-Ball Interpretation)

Ovo je najčešća i matematički “čista” interpretacija. Temelji se na argumentu da
svaka pojedinačna kuglica koja je ikada dodana u urnu biva i uklonjena. Ako razmotrimo
bilo koju kuglicu ‘k’, ona se dodaje u urnu u nekom koraku (recimo, u n-tom koraku,
gdje je 10(n-1) < k <= 10n) i uklanja se u k-tom koraku. Budući da se za svaku kuglicu'
k' može pokazati da je uklonjena prije podneva, logično je zaključiti da u podne
u urni ne može biti nijedne kuglice. Ova interpretacija naglašava važnost specifičnih
pravila uklanjanja i individualnog statusa svakog elementa.

### Interpretacija “Beskonačno mnogo kuglica” (The Infinite-Ball Interpretation)

Ova interpretacija proizlazi iz promatranja neto promjene broja kuglica. U svakom
koraku dodaje se 10, a uklanja 1, što znači da se neto broj kuglica povećava za 
9. Budući da ima beskonačno mnogo tak

**📚 Za više misaonih paradoksa posjetite [Filozofija](https://zadar.tv/category/filozofija/)–
vaš vodič kroz povijest mišljenja.**